La afinación pitagórica.

        Este trimestre hemos estudiado en matemáticas la afinación pitagórica basándonos en contenidos conocidos para alumnos de 2º de la ESO, tales como las operaciones con fracciones, este estudio históricamente fue más complejo, pero eso no impide que se pueda llevar a cavo mediante el uso de las matemáticas propias de la ESO, sólo es necesario eliminar algunos de los tediosos cálculos que debió hacer Pitágoras para darnos cuenta que sustituyendolos por otros más sencillos y con los conocimientos que tenemos actualmente podemos llegar al mismo sitio.

        ¿Alguna vez os habéis preguntado por qué son así las teclas de un piano? El teclado sigue un patrón de 7 teclas blancas entre las que se intercalan 5 negras: un total de 12 teclas por octava.

 

         Las teclas blancas corresponden a las notas de la escala natural (do, re, mi, fa, sol, la, si), las teclas negras son las notas alteradas: do#, mib, fa#, sol#, sib (# se lee sostenido y b se lee bemol). Entre cada tecla y la siguiente, sea blanca o negra, hay siempre el mismo intervalo: un semitono (ST), la mitad de un tono (T).

 

        Pero entonces, ¿por qué no están todas las teclas al mismo nivel?, ¿por qué algunas notas se consideran “naturales” y otras “alteradas”?, ¿por qué los tonos y semitonos se distribuyen de esa manera y no otra en la escala natural (T, T, ST, T, T, T, ST)?, ¿por qué tiene precisamente 7 notas? La respuesta, de nuevo, está relacionada con Pitágoras.

 

       Toma una cuerda de 1 metro de longitud, ténsala y hazla vibrar. Verás que reproduce una nota musical, que será función, entre otras cosas, de su longitud. Así, cuanto más larga sea la cuerda, más grave será la nota. Nosotros llamaremos “Do” a la nota que hemos reproducido con nuestra cuerda de un metro.

       Ahora coge otra cuerda, y prueba a tocarla a la vez que la primera, pero variando su longitud. Si lo haces, te darás cuenta de que hay veces en que las notas producidas por las dos cuerdas suenan mejor (lo que en música se llama “consonancia”) y otras suenan peor (“disonancia”).

       Viajemos a esa época y pongámonos en la piel los pitagóricos. Además, para los pitagóricos los números naturales, y especialmente los cuatro primeros (que ellos llamaban tetrakis), tenían un significado muy especial. Te puedes imaginar cuánto les llamó la atención el resultado del experimento: las tres relaciones de longitud a las que llegamos incluyen esos cuatro números, y ninguno más. A estos tres intervalos (1/2, 3/4 y 2/3) les llamaron diapasón, diatesarón y diapente respectivamente, aunque hoy en día los conocemos como octava, cuarta y quinta,

         Volvamos a nuestras cuerdas, y vamos a pintar lo que teníamos hasta ahora. A las dos notas intermedias que nos han salido, en las distancias 4/3 y 3/2 les vamos a llamar “Fa” y “Sol” respectivamente. Además, para no liarnos, he llamado Do a la nota que emite la cuerda de 1 metro, y Do’ a aquella emitida por la cuerda con una longitud la mitad (1/2 m).

        Lo primero que observó Pitágoras es que si la cuerda la dividíamos a la mitad se obtenía la misma nota pero más aguda, de hecho una octava más aguda, la vamos a llamar Do’.

        Do (1) : 2 = Do’ (1/2)

        A partir de ahí, la dividiremos y multiplicaremos sucesivamente para obtener cada nuevo sonido de la escala natural.

        La mayoría de estos sonidos aparecerán en escalas más agudas, pero para obtener estos sonidos en la escala original no tenemos más que bajarles una o varias veces de octava, esto es: multiplicar su longitud por dos.

        Todos los cálculos están hechos a continuación, en negrita aparecen los sonidos en la escala original, el apóstrofe(s) altos indica(n) que el sonido es de una escala más aguda.

       Do (1) : 3 = Sol’ (1/3) => Sol’ (1/3) x 2 = Sol (2/3)

        Do’ (1/2) :2 = Do’’ (1/4) => Do’’ (1/4) x 3 = Fa (3/4)

       Do’ (1) : 5 = Mi’’ (1/5) => Mi’’ (1/5) x 2 = Mi’ (2/5) => Mi’ (2/5) x 2 =Mi (4/5)

 

        Sol (2/3) : 3 = Re’’ (2/9) => Re’’ (2/9) x 2 = Re’ (4/9) => Re’ (4/9) x 2 = Re (8/9)

        Re’ (4/9) : 3 = La’’ (4/27) => La’’ (4/27) x 2 = La’ (8/27) => La’ (8/27) x 2 = La (16/27)

       Podemos observar que si hacemos 8/9 de Sol (2/3) obtenemos La (16/27) si hacemos lo mismo con La (16/27): 8/9 de La (16/27) = Si (128/243)

 

 

       Para comprender esto hay que tener en cuenta que se debieron hacer muchos cálculos con estos números y los resultados siempre era alguna de estas fracciones por lo que esto llevó a los pitagóricos a suponer que no era posible encontrar otras notas musicales que fuesen consonantes dentro de la misma octava.